짜임새 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 순서 있는 짜임새 공간과 순서 없는 짜임새 공간
3. 성질
4. 예시
5. 꼬임군(Braid group)과의 관계
6. 기계적 연결 장치의 짜임새 공간
7. 콤팩트화
8. 역사
참조

1. 개요

짜임새 공간은 위상 공간 X 위에 n개의 점들의 집합으로, X 속의 n개 이하의 원소들을 갖는 부분 집합으로 정의된다. 순서 있는 짜임새 공간과 순서 없는 짜임새 공간으로 구분되며, 돌트-톰 정리에 따라 무한 짜임새 공간의 호모토피 군은 X의 축소 특이 호몰로지와 동형이다. 짜임새 공간은 꼬임군과의 관계를 가지며, 기계적 연결 장치의 짜임새 공간으로도 활용된다. 콤팩트화 및 역사적 배경에 대한 연구도 이루어졌다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 $n$ 개의 점들의 '''짜임새 공간''' $\operatorname{Conf}^nX$ 은, 집합으로서 $X$ 속의 $n$ 개 이하의 원소들을 갖는 부분 집합들의 집합이다. 이는 다음과 같은 몫공간으로 정의할 수 있다.

: $\operatorname{Conf}^nX=X^n/\operatorname{Sym}(n)$

여기서 $\operatorname{Sym}(n)$ 은 $n$ 개의 원소 위의 대칭군이며, 몫공간은 $\operatorname{Sym}(n)$ 의 $X^n$ 위의 표준적인 작용(각 성분들의 순열)에 대한 몫공간이다. 만약 $X$ 가 다양체라면, 그 위의 짜임새 공간은 오비폴드를 이룬다.

짜임새 공간 속에서, 좌표가 중복되지 않는 부분 공간

: $\operatorname{Conf_{nonsing}}^nX=\{(x_1,\dots,x_n)\in X^n\colon \forall i\ne j\colon x_i\ne x_j\}/\operatorname{Sym}(n)\subseteq\operatorname{Conf}^nX$

을 '''비특이 짜임새 공간'''(nonsingular configuration space^영어)이라고 한다. 만약 $X$ 가 다양체라면 비특이 짜임새 공간 역시 다양체이다. (이름과 달리, 짜임새 공간 자체가 특이점을 갖지 않을 수 있다. 예를 들어, 평면이나 구 위의 짜임새 공간은 특이점을 갖지 않는다.)

점을 가진 공간 $(X,\bullet)$ 의 거듭 곱공간에 대하여, 표준적인 포함 사상들의 열

: $X^0\cong \{\bullet\}\subseteq X\cong X\times\{\bullet\}\subseteq X^2\cong X^2\times\{\bullet\}\subseteq X^3\cong X^3\times\{\bullet\}\subseteq\cdots$

이 존재한다. 이에 따라 짜임새 공간들의 포함 사상

: $\operatorname{Conf}^0X\hookrightarrow \operatorname{Conf}^1X\hookrightarrow\operatorname{Conf}^2X\hookrightarrow\operatorname{Conf}^3X\hookrightarrow\cdots$

이 존재한다. 이들의 귀납적 극한을 '''무한 짜임새 공간'''(infinite configuration space^영어)

: $\operatorname{Conf}^\infty X=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{Conf}^nX$

이라고 한다.

위상 공간 $X$ 와 유한 집합 $S$ 에 대해, ''' $S$ 로 표시된 입자가 있는 $X$ 의 짜임새 공간'''은 다음과 같다.

: $\operatorname{Conf}_S(X) := \{f\mid f\colon S\hookrightarrow X\text{는 단사 함수}\}.$ ^[2]

2. 1. 순서 있는 짜임새 공간과 순서 없는 짜임새 공간

순서 있는 짜임새 공간은 점들의 순서를 고려하는 반면, 순서 없는 짜임새 공간은 점들의 순서를 무시한다.

위상 공간

X

와 양의 정수

n

에 대해,

X^n

을

X

의

n

개의 복사본의 데카르트 곱으로 하고, 곱 위상을 부여한다. '''

n

번째 (순서화된) 짜임새 공간'''

X

는

X

의 쌍별로 다른 점의

n

-튜플 집합이다.

:

\operatorname{Conf}_n(X) := X^n \smallsetminus \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in X^n \mid x_i=x_j\ \text{for some }i\neq j\}.

^[1]

이 공간은 일반적으로

\operatorname{Conf}_n(X)

의

X^n

으로의 포함에서 유도된 부분 공간 위상을 갖는다. 이는 때때로

F(X, n)

,

F^n(X)

, 또는

\mathcal{C}^n(X)

로 표기된다.^[4]

대칭군

S_n

은 다음과 같이

\operatorname{Conf}_n(X)

의 점에 대한 작용을 갖는다.

:

\begin{align}S_n\times \operatorname{Conf}_n(X)&\longrightarrow \operatorname{Conf}_n(X) \\(\sigma,x)&\longmapsto \sigma(x)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)}).\end{align}

이 작용은 '''

n

번째 비순서 짜임새 공간'''을 생성한다.

:

\operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X)/S_n,

이것은 해당 작용의 궤도 공간이다. 직관적으로 이 작용은 "점의 이름을 잊어버린다". 비순서 짜임새 공간은 때때로

\mathcal{UC}^n(X)

,^[4]

B_n(X)

, 또는

C_n(X)

로 표기된다.

3. 성질

돌트-톰 정리(en: Dold–Thom theorem)에 따르면, 점을 가진 연결 CW 복합체 $X$ 의 무한 짜임새 공간 $\operatorname{Conf}^\infty X$ 의 $i$ 차 호모토피 군 $\pi_i(\operatorname{Conf}^\infty X)$ 은 $X$ 의 $i$ 번째 축소 특이 호몰로지 $\operatorname{\tilde H}_i(X;\mathbb Z)$ 와 동형이다.

: $\pi_i(\operatorname{Conf}^\infty X)\cong \operatorname{\tilde H}_i(X;\mathbb Z)$

특히, 무한 짜임새 공간의 기본군은 항상 아벨 군이다.

4. 예시

$\mathbf{R}^2$ 에서 두 점의 정렬된 구성 공간은 위상 동형에 의해 유클리드 3차원 공간과 원의 곱과 동형이다. 즉, $\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1$ 이다.^[4]
더 일반적으로, $\mathbf{R}^n$ 에서 두 점의 구성 공간은 호모토피에 의해 구 $S^{n-1}$ 와 호모토피 동치이다.^[3]
$\mathbf{R}^2$ 에서 $n$ 개의 점의 구성 공간은 $n$ 번째 브레이드 군의 분류 공간이다.

4. 1. 전순서 집합 위의 짜임새 공간

전순서 집합

(L,\le)

위에 순서 위상을 부여하면,

L

위의

n

차 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^nL

은 곱공간

L^n

의 부분 공간

:

\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\in L^n\colon a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\}\subseteq L^n

으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 닫힌구간

[0,1]

위의

n

차 짜임새 공간은

n

차원 단체

:

\triangle^n=\{(t_1,t_2,\dots,t_n)\in[0,1]^n\colon t_1\le t_2\le\cdots\le t_n\}

이다. 반직선

\mathbb R_{\ge0}

위의

n+1

차 짜임새 공간은

n

차원 단체 위의 무한 뿔

:

\operatorname{Conf}^{n+1}\mathbb R_{\ge0}\cong\frac{\triangle^n\times\mathbb R_{\ge0}}{\triangle^n\times\{0\}}=\{(tr_1,tr_2,\dots,tr_n,t)\colon (r_1,\dots,r_n)\in\triangle^n,t\in\mathbb R^+\}\sqcup\{(0,0,\dots,0)\}

이다.

4. 2. 평면 위의 짜임새 공간

유클리드 평면

\mathbb R^2

위의

n

개 입자의 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^n\mathbb R^2

를 생각할 수 있다.

유클리드 평면을 복소평면

\mathbb C

로 생각할 수 있다. 대수학의 기본 정리에 따라, 복소수 계수

n

차 다항식

:

p(z)=c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots+z^n

은

n

개의 (중복될 수 있는) 근을 갖는다. 반대로,

n

개의 복소수들의 중복집합

(z_1,z_2,\dots,z_n)

이 주어진다면, 이들을 근으로 하는 다항식

:

p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)

을 재구성할 수 있다. 따라서,

\operatorname{Conf}^n\mathbb C

는

n

차 복소수 일계수 다항식들의 모듈라이 공간

:

\mathbb C^n

과 위상 동형이다. 특히 이는 매끄러운 다양체로 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{Conf}^n\mathbb R^2\cong\mathbb R^{2n}

짜임새 공간과 달리, 평면 위의 비특이 짜임새 공간

:

\operatorname{Conf_{nonsing}}^n\mathbb R^2\subseteq\mathbb R^{2n}

은

n\ge 2

일 경우 축약 가능 공간이 아니며, 그 기본군을 '''꼬임군'''

:

\pi_1(\operatorname{Conf_{nonsing}}^n\mathbb R^2)=\operatorname{Braid}(n)

이라고 한다.

$\mathbf{R}^2$ 에서 두 점의 정렬된 구성 공간은 위상 동형에 의해 유클리드 3차원 공간과 원의 곱과 동형이다. 즉, $\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1$ 이다.^[4]
더 일반적으로, $\mathbf{R}^n$ 에서 두 점의 구성 공간은 호모토피에 의해 구 $S^{n-1}$ 와 호모토피 동치이다.^[3]
$\mathbf{R}^2$ 에서 $n$ 개의 점의 구성 공간은 $n$ 번째 브레이드 군의 분류 공간이다.

4. 3. 구 위의 짜임새 공간

구

\mathbb S^2

위의

n

개 입자의 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^n\mathbb S^2

를 생각해보자. 구를 리만 구

\mathbb{CP}^1=\mathbb C\sqcup\{\widehat\infty\}

로 여길 수 있다.

복소수 사영 공간 속의 임의의 점

[c_0:c_1:\cdots:c_n]\in \mathbb{CP}^n

에 대하여, 다항식

:

p(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n

을 정의하자.

만약 $c_n\ne0$ 이라면 이는 $n$ 개의 (유한한) 근을 가진다.
만약 $c_n=0$ 이지만 $c_{n-1}\ne0$ 이라면 이는 $n-1$ 개의 유한한 근을 가진다. 이 경우, $\widehat\infty\in\mathbb{CP}^1$ 를 무한한 "근"으로 정의하여, $n$ 개의 (유한하거나 무한한) 근을 가지게 할 수 있다.
일반적으로, 임의의 $k\in\{0,1,2,3,\dots,n\}$ 에 대하여 $0=c_{k+1}=c_{k+2}=\cdots$ 이지만 $c_k\ne0$ 이라면, 이는 $k$ 개의 유한한 근과 $n-k$ 개의 무한한 근을 가진다.

반대로,

a_1/b_1,\dots,a_n/b_n\in\mathbb C\sqcup\{\infty\}=\mathbb{CP}^1

이 주어졌을 때

:

p(z)=(b_1z-a_1)(b_2z-a_2)\cdots(b_nz-a_n)

은 이들을 (유한하거나 무한한) 근으로 하는 다항식을 이룬다. 따라서, 초구 위의 짜임새 공간은 복소수 사영 공간

:

\operatorname{Conf}^n\mathbb S^2\cong\mathbb{CP}^n

이다.

돌트-톰 정리에 따라, 초구 위의 무한 짜임새 공간은 무한 순환군의 에일렌베르크-매클레인 공간을 이룬다.

:

\operatorname{Conf}^\infty\mathbb S^n\simeq K(\mathbb Z,n)

특히,

K(\mathbb Z,2)

는 무한 차원 복소수 사영 공간이다.

:

\mathbb{CP}^\infty\cong \operatorname{Conf}^\infty\mathbb S^2\simeq K(\mathbb Z,2)

4. 4. 원 위의 짜임새 공간

원 위의

n

차 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^n(\mathbb S^1)

은

(n-1)

차원 단체의 기둥에서 윗면과 아랫면을 뒤틀림을 가해 붙이는 오비폴드이다.^[20] 즉, 다음과 같은 단체

:

\triangle^{n-1} = \left\{(t_1,\dots,t_n)\in[0,1]^n \colon \sum_{i=1}^nt_i = 1 \right\}

의 자기 동형

:

\sigma \colon \triangle^{n-1}\to\triangle^{n-1}

:

\sigma \colon (t_1,\dotsc,t_n) \mapsto (t_2,t_3,\dotsc,t_n,t_1)

을 생각하면,

:

\operatorname{Conf}^n(\mathbb S^1) = \frac{\triangle^{n-1}\times[0,1]}{\triangle^{n-1}\times\{0\} \sim_\sigma\triangle^{n-1}\times\{1\}}

이다.

원

\mathbb S^1=\mathbb R/\mathbb Z

에 임의의 방향을 부여하고,

n

개의 점 가운데 임의의 한 점

x_0\in\mathbb S^1

을 고른 뒤, 나머지 점들을 반시계 방향으로

:

x_0,x_1,\dotsc,x_n=x_0\in\mathbb S^1

이라고 부르자. 이제, 서로 이웃하는 점 사이의 거리

:

t_i=x_i-t_{i-1}\in[0,1]

를 생각하면,

:

\sum_{i=1}^nt_i=1

이므로, 이들은

(n-1)

차원 단체의 좌표를 이룬다.

따라서

\mathbb S^1

위의

n

개의 점들의 배열은

n-1

차원 단체의 한 점

t\in\triangle^{n-1}

및

x_0\in\mathbb S^1

의 위치로 나타내어지므로,

:

\triangle^{n-1}\times\mathbb S^1

의 특정한 몫공간이다. 여기서 취하는 몫은

x_0

의 선택을 바꾸는 것에 대한 것이며, 이는 점들의 번호를 순환적으로 1만큼 변하게 한다.

예를 들어, 원

\mathbb S^1

위의 2차 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^2(\mathbb S^1)

은 뫼비우스 띠이다. 구체적으로, 뫼비우스 띠의 (유일한) 경계는 두 점이 일치하는 부분 공간이다.

마찬가지로, 원 위의 3차 짜임새 공간

\operatorname{Conf}^3(\mathbb S^1)

은 정삼각형 기둥에서 윗면과 아랫면을 60도 뒤틀어 붙여 얻는 오비폴드이다. 이는 (원과 동형인) 하나의 1차원 경계 및 (뫼비우스 띠와 동형인) 하나의 2차원 경계를 갖는데, 이는 각각 3개의 점이 일치하는 부분 공간과 2개의 점이 일치하는 부분 공간에 해당한다.

4. 5. 그래프 위의 짜임새 공간

그래프의 그래프의 짜임새 공간과 관련된 특정 결과가 있다. 이 문제는 로봇 공학 및 이동 계획과 관련될 수 있다. 여러 로봇을 트랙에 배치하고 충돌 없이 다른 위치로 이동시키려고 상상할 수 있다. 트랙은 그래프의 (가장자리)에 해당하고, 로봇은 입자에 해당하며, 성공적인 탐색은 해당 그래프의 배치 공간에서 경로에 해당한다.^[11]

임의의 그래프

\Gamma

에 대해

\operatorname{Conf}_n(\Gamma)

는

K(\pi,1)

유형의 아이렌버그-맥레인 공간이며^[11], 강한 변형 후퇴는 차원이

b(\Gamma)

인 CW 복합체로, 여기서

b(\Gamma)

는 차수가 3 이상인 정점의 수이다.^[11]^[12] 또한,

\operatorname{UConf}_n(\Gamma)

와

\operatorname{Conf}_n(\Gamma)

는 차원이 최대

\min(n, b(\Gamma))

인 비양의 곡률 입방체 복합체로 변형 후퇴한다.^[13]^[14]

5. 꼬임군(Braid group)과의 관계

n-가닥 꼬임군은 연결된 위상 공간 X의 n번째 비정렬 설정 공간의 기본군으로 정의된다.^[4] 평면의 비정렬 설정 공간은 아르틴 꼬임군의 분류 공간이다.^[6] 아돌프 후르비츠는 아르틴이 꼬임군을 정의하기 훨씬 전인 1891년에 복소 평면의 설정 공간의 기본군으로서 아르틴 꼬임군을 암묵적으로 정의했다.^[5]

6. 기계적 연결 장치의 짜임새 공간

기계적 연결 장치의 짜임새 공간은 적절한 메트릭을 갖춘 유클리드 공간에서 허용 가능한 모든 위치의 총체로 정의된다.^[15]^[16] 일반적인 연결 장치의 짜임새 공간은 매끄러운 다양체이다. 예를 들어, 회전 관절로 연결된 $n$ 개의 강체 막대로 구성된 사소한 평면 연결 장치의 경우, 짜임새 공간은 n-토러스 $T^n$ 이다.^[15]^[16]

이러한 짜임새 공간에서 가장 간단한 특이점은 균질 이차 초곡면에 대한 원뿔과 유클리드 공간의 곱이다. 이러한 특이점은 각각의 종단점이 추적하는 경로가 비횡단 방식으로 교차하는 연결 장치, 예를 들어 정렬될 수 있는(즉, 완전히 선으로 접힐 수 있는) 연결 장치에 대해 나타난다.^[17]

7. 콤팩트화

n개의 서로 다른 점들의 배치 공간 $\operatorname{Conf}_n(X)$ 은 점들이 서로 가까워지는(합류하는) 끝부분을 가지고 있어 콤팩트하지 않다. 많은 기하학적 응용 분야에서는 콤팩트 공간이 필요하므로, $\operatorname{Conf}_n(X)$ 를 콤팩트화하려는 시도가 이루어진다. 즉, 적절한 속성을 가진 콤팩트 공간의 열린 부분 집합으로 포함시키는 것이다. 이 문제에 대한 접근 방식은 라울 보트, 클리포드 토브스^[18], 윌리엄 풀턴, 로버트 맥퍼슨^[19]에 의해 제시되었다.

8. 역사

알브레히트 돌트와 르네 톰이 1958년에 돌트-톰 정리를 증명하였다.^[21]

참조

_[1] 학술지 Topological complexity of configuration spaces
_[2] 학술지 The Homology of Configuration Spaces of Trees with Loops
_[3] arXiv The homology of the little disks operad 2010-02-20
_[4] 도서 Braids World Scientific 2009-12-01
_[5] 도서 Proceedings of the Second International Conference on the Theory of Groups Springer
_[6] 도서 Vladimir I. Arnold — Collected Works
_[7] citation Configuration spaces are not homotopy invariant
_[8] 학술지 A model for configuration spaces of points 2023
_[9] 학술지 The Lambrechts–Stanley Model of Configuration Spaces https://archive.org/[...] 2016-08-29
_[10] arXiv Configuration Spaces of Manifolds with Boundary 2018-02-02
_[11] citation Knots, braids, and mapping class groups—papers dedicated to Joan S. Birman American Mathematical Society
_[12] 학술지 Discrete Morse theory and graph braid groups
_[13] 학술지 Estimates for homological dimension of configuration spaces of graphs
_[14] 학위논문 Configuration spaces of graphs Free University of Berlin
_[15] 학술지 The configuration space of arachnoid mechanisms
_[16] 도서 Invitation to Topological Robotics american Mathematical Society
_[17] 학술지 Generic singular configurations of linkages
_[18] 학술지 On the self-linking of knots http://dx.doi.org/10[...] 1994-10-01
_[19] 학술지 A Compactification of Configuration Spaces http://dx.doi.org/10[...] 1994-01
_[20] 학술지 The Geometry of Musical Chords http://www.brainmusi[...] 2006-07-07
_[21] 학술지 Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte http://www.maths.ed.[...] 1958-03

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